灵机一动 | 第181期 三角乱

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 181

三角乱

请问：图中有多少个三角形？

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上期问题回顾

NO. 180

必胜策略

在黑板上写一个数N，两人轮流对其操作。每次操作，要么变成一个黑板上数的约数（不可以为1和自身），要么减1。谁操作后得到1，谁获胜。请问，对于哪些数，后手一方有必胜策略？

分析与解答

解答 | 乐乐

答案：除去17外的所有奇质数加上16，34，289，后手赢，其余先手赢。

我们从2开始尝试，希望从简单入手找到规律。

观察到质数只有一种操作方法就是减1，从2到15很快发现3，5，7，11，13都是后手赢，因为先手只有一种操作就是减1，减1后是个合数，这时后手可以将数变成一个更小的质数而让先手处在一个败局上。我们先猜想所有奇质数是后手胜，其余情况先手胜。但是可以看到16就不对了，不管先手把它变成15，8，4，2，结果都是后手胜，相应的17就是先手胜了，由于17是先手胜，34只能变成33，17，2，先手负，同样289也是先手负。看来最初的猜想有缺陷，但是这个缺陷是可以fix（修补）的。仅考虑大于等于16的数，分4种情况：

一，形如2 k，可以显见，当k大于4时，先手都可以变成16而获胜，也就是仅当k=4时先手败；

二，形如17 a，也显见当a大于2时，先手可以变成289而获胜，也就是仅当a=2时先手败；

三，同时含有且仅含有2和17因子的，它能被34整除的，只要不等于34，先手都可以把数变成34而获胜；

四，至少含有一个除2和17外其它素因子的数，再分两种情况考虑：

1、如果是素数，先手只能减1变成一个偶数，该偶数如果只有素因数2，那么后手可以把它变成16，这样后手胜；如果只含有2和17（注意肯定不会是34，因为35是合数，先手拿不到），根据情况三，还是后手胜；如果含有其它素因数，后手把它变成一个更小的素数。然后再按照上面的分析，后手会把素数不断变小，变到16以内就必胜了。所以这种情况后手胜。

2、如果是合数，那么轮到先手可以制造越来越小的素数，同理先手胜。

这样综上，只有N为16，34，289以及除17以外的奇素数后手胜，其他情况先手胜。

* 以上根据题友 @乐乐的解答整理而成。

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