如何定义三角函数才算严谨？

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从初中开始，我们就开始接触三角函数了。初中的时候，三角函数是在直角三角形中定义的。直角三角形中一个锐角的对边比上斜边就是这个角的正弦值，而余弦值被定义为这个角的邻边与斜边的比值。

初中的定义，使得我们对三角函数的研究停留在锐角的范围内。到了高中，我们利用单位圆和有向线段把三角函数的定义域扩大到了可以取到任意实数。于是，三角函数成了实数R到实数R的函数。

然而，如果你真较真儿的看看以上中学阶段的两种定义的话，你会发现以上两种定义方式都离不开“画图”，而看图说话的方式依赖人的感觉——视觉，这不是一种数学意义上的严谨方式。再深入一点，单位圆和有向线段定义三角函数的方式，需要把角的大小对应成为实数，而对应实数的方式，要么用到某个扇形的面积，要么会用到圆上某段弧的弧长。然而，你在圆上截取的这部分扇形的面积，或者那段弧的弧长分别存在的理由是什么呢？奥，你会说我画出来了，看吧，它就是占了一块地方，或者就是一截长度——我相信是对的，但是这样的理由依然是感觉的，而非数学逻辑的。

如果，按数学严谨的逻辑应该怎么做呢。我们可以完全依照公理与逻辑从自然数理论（可以用ZFC或者皮亚诺公理导出自然数的相关理论），发展出有理数理论，再而发展处实数理论。理由实数的完备性的公理，发展处极限理论、微积分理论，再而级数和微分方程理论。这些基础，都可以只依赖于公理体系和形式逻辑，而不依赖与感觉。于是本文就用这些理论来定义三角函数，已经推倒三角函数的性质。——本文将用无穷级数定义三角函数。利用无穷级数或微分方程也是到目前为止，严谨的定义三角函数的最佳方案。

定义三角函数的核心也就是定义正弦和余弦函数，下面我们会围绕这个来展开讨论。

我们用级数来定义下面两个函数：

我们后面证明的公式，很多可以利用级数之间的四则运算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之类)，但是我们哆嗒君并不打算这样做，下面所有的关键推导，我们都尽量避开一些艰深的级数间运算的技巧，虽然那很直接（比如证明存在使得sinx小于0的x的时候，可以直接估计计算sin5,sin6之类），但是，对一些普通人来讲，那过于麻烦了。

1、 π的定义

上面两个级数对任意实数x都是收敛的。而且很容易看出sin0 = 0， cos0 = 1 。

另外我们也很容易得到上面两个定义后的函数的奇偶性，即是说：

根据无穷级数的相关理论上面的两个级数都是连续，可微，且求导导数的时候还可以使用逐项求导的方法。

于是我们得到

于是有，

说明sin?2; x + cos?2; x 是常数，代入x = 0，得到

利用上面的式子，我们还能得到关于两个函数的上下界的不等式。

注意到sin x 连续可导，导函数在零点为cos0 = 1 0,说明sinx 在0 点的某个右邻域内单调递增，从而在某个区间(0,δ)上，sin x 0。(*)

我们估计一下来说明sinx存在大于零的零点。这只需要说明sinx有取得负值的点。显然，sinx，cosx在任何区间上都不恒为常数，于是我们假设sinx 0恒成立，这时cosx是单调递减的，用下面两部分文字来推出矛盾。

若cos x 非负恒成立，则有sinx单调递增，于是由单调有界原理，可设

则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

若存在y使得cos y小于零，那么当x≥y时，cos x 0，说明在这个区间上sin x单调递减。

于是由单调有界原理，可设

则由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：

于是，存在y，使得siny 0，也就是说存在x 0，使得sinx = 0。

于是我们把下面的实数定义为π。

因为sinx的连续性和(*)的结论，上面的下确界inf符号其实可以换成最小值min，即有π 0 ，sinπ = 0 。

2、 和角公式和诱导公式

这一部分的内容需要用到常微分方程的相关理论。

注意到，sinx与cosx 都满足下面这个二阶常系数线性方程：

因为sinx和cosx是线性无关的。于是上面方程的解一定有形式：

而对应任意实数y，sin(x+y)也满足上述方程。所以

代入x = 0，x = -y 得到

同理可得，

于是我们得到了和角公式。

令x = y = π/2 , 得到

注意到由π的定义可得sin(π/2) 0，可以得到 cos(π/2) = 0, 从而利用sin?2;x+cos?2;x=1这个式子得到sin(π/2)=1。再利用一下cos x 在[0, π]的单调性（由π的定义这个区间上cosx 的导数-sinx 非正），得cosπ=-1。

于是反复使用以上公式，我们得到诱导公式，

于是我们知道2π是sinx 和 cos x 的一个正周期，实际上它还是最小的正周期。比如用sinx来说，2π不是最小的正周期，那么存在正数T 2π还是sinx的正周期，下面三种情况都会得到矛盾。

若T π ， 则 0 = sin0 = sin( 0 + T ) = sinT ≠ 0 。

若T = π ， 则 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) =- sin(π/2) = -1 。

若π T 2π ， 则 0 T-π π ， 有 0 = sin 0 = sin( 0 + T ) = sinT = -sin(T-π) ≠ 0 。

于是，正弦和余弦函数关于周期的性质我们也得到了。

反复利用和角公式，我们得到正弦和余弦二倍角公式是三倍角公式。

利用这些公式，我们得到常用的一些特殊锐角的值，

3、 反函数

我们已经知道，-sinx 在[0,π]内是非正的，且只有孤立的x = 0，π两个点上取得零值。这说明,cosx 在[0,π]上是式单调递减的，于是在这个区间上有反函数，记为arccos x。

而sin x = cos(π/2 - x) ，利用复合函数的性质，得到sin x 在[-π/2, π/2]上单调递增。于是sin x 在这个区间上有反函数，记为arcsin x 。

特别的，我们有arcsin 1 = π/2 ， arcsin (1/2) = π/6， arcsin 0 = 0。

利用反函数的求导法则,对y=arcsin x求导，得到，

同理有

好了，我们已经把正弦和余弦函数的中学中常用的性质推了个遍，那他和圆有什么关系呢？

4、 圆的周长和面积公式

我们知道，圆的周长和面积都是由解析式x?2;+y?2;=r?2;(r 0)，所围成图形决定的。而对于这样图形的面积和曲线长，我们利用积分（依赖于极限）有严谨的定义。

对于面积，由于对称性，我们计算下面这个定积分的4倍。

而对于后面的积分，令其为I，我们有

得到I = πr?2;/4 , 那么它的4倍就是半径为r的圆的面积,πr?2;。

对于连续可导的函数y = f(x) ，在区间(a,b)上的那一断曲线长为：

于是由于对称性，圆的周长就是下面这个定积分积分的4倍。

于是4倍就得到半径为r的圆周长2πr。

我们通过上面的积分计算，建立起了圆的两个重要几何性质与之前定义的π的联系。最后我们要看看，π的值到底是多少。

5、 π的值是多少

微积分中，我们知道，下面的公式（|x| 1，规定(-1)!!= 0!! = 1）：

得到：

两边积分有，

代入x=1/2 有

这个级数的收敛速度还不错，要计算到3.14…..的精度只需要计算4项，计算到3.1415926......的精度只需要10项，耐心一些用手算都可以出结果。它比一般高数书给出的用arctanx的展开式计算π/4的速度快了不少，而后者，就算计算到500项也得不到3.14......的近似值。

学数学一定追求严谨到极致？

有句话说得好，数学的严谨就像衣服，太紧了不行，太松了不好。如果用这种最严谨（目前）的方式来作为起点学习三角函数，这种丧失全部直观的方式其实并不符合人们认识新事物的规律。另外，由于理解这种方式，需要对实数理论、微积分相当熟悉，而后者要到大学才开始接触，会拖后三角函数的学习进程。毕竟大部分人使用三角函数，都是使用其函数性质而非它的逻辑底层，完全没必要把这部分知识放在那么后面。

但是，如果我们追求一个理论的逻辑上的完美，在有一定数学功底之后，来回味一下从实数的基本理论来建立三角函数（或者其他初等函数）的过程，借此品尝一下数学的“极致严谨”小甜点也是一件很有趣的事情。

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