建模的艺术：运筹学

胡晓东、袁亚湘、章祥荪 \文中国科学院数学与系统科学研究院

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运筹学是20世纪三四十年代发展起来的一门新兴交叉学科。它主要研究人类对各种资源的运用及筹划活动，以期通过了解和发展这种运用及筹划活动的基本规律，发挥有限资源的最大效益，达到总体最优的目标。从问题的形成开始，到构造模型、提出解案、进行检验、建立控制，直至付诸实施为止的所有环节构成了运筹学研究的全过程。运筹学研究对象的客观普遍性，以及强调研究过程完整性的重要特点，决定了运筹学应用的广泛性，它的应用范围遍及工农业生产、经济管理、工程技术、国防安全、自然科学等各个方面和领域。运筹学从创建开始就表现出理论与实践结合的鲜明特点，在它的发展过程中还充分表现出了多学科的交叉结合，物理学家、化学家、数学家、经济学家、工程师等联合组成研究队伍，各自从不同学科的角度提出对实际问题的认识和见解，促使解决大型复杂现实问题的新途径、新方法、新理论更快地形成。

运筹学主要包含三大部分：模型、理论和算法。无论是早期解决二战中的兵力部署和武器调配，还是生产组织问题或交通、通讯问题，相关领域的运筹学工作者都建立了各种各样的模型，在这些模型下逐步地建立了比较完整的理论体系，提出了求解相应问题的各种类型的算法。运筹学经过60 多年的发展，已经逐步形成了一套系统的解决和研究实际问题的方法，它可以概括为以下几个阶段：

1构建所关心问题的数学模型，将一个实际问题表示为一个运筹学问题

2分析问题（最优）解的性质和求解的难易程度，寻求合适的求解方法

3设计求解相应问题的算法，并对算法的性能进行理论分析

4编程实现算法，并分析模拟数值结果

5判断模型和解法的有效性，提出解决原始实际问题的方案

这些阶段并不是相互独立的，也决非依次进行的。

正如邦德（美国工程院院士，曾任美国军事运筹学会主席和美国运筹学会主席）在谈到他几十年建模和分析的体会时指出的那样：“对于模型的开发应该是一种连续的研究、开发、分析、改进……的过程，是一个原型化和呈螺旋状发展的过程，而不是一个单个事件！在短期内建造一个原型（假若有必要，加上一些不切实际的假设），然后通过去除那些不切实际的假设，增加过程，增加系统等等不断地将模型改进”。

邦德在回顾运筹学在美国军事力量的改造中所起的重要作用时指出：“对一个过程、一个系统或者一个企业的建模是一种艺术。这项艺术在于确定哪些因素与活动需要包含在模型之中，哪些是变量、常数、随机的、约束等；在建立变量之间关系时，应做些什么假设；以及在逐步运作中，如何排除在建立初始模型时所引入的是某些不切实际的假设。并且，这是一种可以学习的艺术。”

希望本文能对我国运筹学的普及、研究、应用和发展有所帮助。

转自：运筹学科普

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